قواعد الإعداد
العمليات الحسابية الرئيسة الأربع هي الجمع والطرح والقسمة ، فقانون التبادل يسري على كل من الجمع والضرب وهو يقول أن حاصل جمع 2+7 أي (2+7) = حاصل (7+2) الشيء ذاته يصح في الضرب : 4×3 = 3×4 وبشكل عام : ب × جـ × ب هناك أيضا قانون ترتيب الحدود أو قانون الترابط وهو امتداد للقانون السابق؛ وهو يقول أنه عند جمع مجموعة من الأعداد أو ضربها فإن ترتيب علميات الجمع أو الضرب لا يؤثر على النتيجة أي أن (ب+ج) +د = ب+د ج +د، وكذلك (ب×ج) ×د = ب× (ج×د) الضرب عملية متكافئة مع عملية الجمع المتكرر فكتابة 7×5 مثلا هي اختزال الكتابة 7+7+7+7 ويتعلم الناس جداول الضرب لأنها أكثر سرعة من جمع أعمدة الأعداد ولا تستطيع الحاسبات الإلكترونية والحاسوب القيام بعملية الضرب رغم اشتهارها بالسرعة والدقة وكل ما يقوم به إنما هو فقط إجراء عمليات جمع متتالية فائقة السرعة. كما أن الطرح هو عكس الجمع كذلك القسمة فهي عكس الضرب أي كناية عن عمليات طرح متكررة يظهر لنا هذا عند القيام بقسمة طويلة .
المربعات والجذور التربيعية:
مربع العدد هو العدد الناتج عن ضرب طول الضلع بنفسه. مربع 3 ويكتب 23، ويساوي 9. العملية المعاكسة هي أخذ الجذر التربيعي لعدد معين أي إيجاد العدد الذي ضرب بنفسه يعطي هذا العدد المعين.
إن مربع عدد صحيح يعطي عددا صحيحا. إلا أن الجذر التربيعي لعدد صحيح كثيرا ما لا يكون عددا صحيحا وكما تبين للرياضي اليوناني فيثاغورس وزملائه. لا نجد دائما عددا منطقيا (يمكن التعبير عنه بكسر حداه عددان صحيحان) يساوي مربعه عددا صحيحا معينا. الجذر التربيعي للرقم 4 هو 2 ، كلاهما صحيح ، إلا أن الجذر التربيعي لـ 2 يقع ما بين 42 41 أو 1.4143 فالجذر التربيعي للرقم 2 لا يمكن تحديده بدقة ، لذا يسمى عددا أصما.
الكسور والتناسب والنسب:
ثلاثة أسباع 3/7 تعني قسمة 3 على 7 وهي كسر العدد الأسفل يسمى المخرج ويمثل عدد الأجزاء المنقسمة إليها الشيء العدد الأعلى يسمى الصورة ، ويمثل العدد المعين من الأجزاء المأخوذة من المخرج.
الكسور على نوعين: حقيقية وغير حقيقية ففي الكسور الحقيقية تكون الصورة أصغر من المخرج ما في 3/7 بينما تكون الكسور غير الصحيحة أكبر من المخرج كما في 5/4 . ويتم إجمالا اختزال هذه الأخيرة بإجراء القسمة وكتابة الباقي بشكل كسر كما في 3/4 1 وتطبق قوانين الحساب على الكسور أيضا إلا أن للكسور أحيانا طرق خاصة بها ، فعملية ضرب الكسور بسيطة تضرب الصورتان معا ويضرب المخرجان معا ، ويعبر عن الحاصل بكسر جديد مثلا 2/3×7/16 = 14/32 . وفي قسمة الكسور يجب قلب الكسر الثاني (القاسم ، وضربه في الأول : 2/3÷7/11= 2/3×11/7 = 22/21 . النتيجة هنا كسر غير حقيقي يمكن اختزاله إلى 1/21 (أي واحد وجزء من 21)، لجمع الكسور وطرحها يجب أولا تحويل جميع المخارج إلى ما يسمى بالقاسم المشترك وللبسيط يختار القاسم المشترك الأولي ، ثم تجمع الصور أو تطرح حسب المطلوب، وتكون النتيجة كسرا مخرجه القاسم المشترك الأدنى ثم يجري تبسيط هذا الكسر إذا أمكن (4 ، 5 ، 6).
لغة الأعداد:
العدد هو التفريق بين واحد وكثير والأعداد الصحيحة مثل 1 و5 و212 صحيحة موجبة.
القاعدة هي عدد الأرقام في عدد ما وموقع الرقم مهم لأنه إذا العدد 333 فأول رقم من اليسار يحل 300 والثاني 30 والثالث ثلاثة وحدات إلا أنه يمكن استعمال أنه قاعدة مناسبة فالحاسوب الحديث مثلا يعتمد القاعدة 2 (النظام الثنائي للأعداد) لأنه يمكن تمثيل الرقمين صفر و1 بقطع التيار الكهربي ووصله . إن فكرة المجموعة هي حجر الزاوية في الرياضيات فهي جملة من الأشياء لها وصف أو تعريف مشترك تدرج في إطار واحد.
والرياضيات بمجملها نوع من جهاز رمزي يمكننا من القيام باستنتاجات المفاهيم الدقيقة دون الاضطرار إلى تفحصها إفراديا ما دامت قد حولت إلى رموز وهكذا يصبح بالإمكان إجراء قسمة طويلة تطبيق قواعد قليلة بدون تفكير ، فليس من الضروري معرفة ما تمثله هذه الأعداد ولا ما تعني القسمة بالحقيقة.